4. Дано: ΔABC ∼ ΔA₁B₁C₁; a:b = 2:3, PΔABC = 39, PΔA₁B₁C₁ = 26, A₁C₁ = 11. На рисунке AB = x, BC = y, AC = z, A₁B₁ = b, B₁C₁ = a. Найти: x, y, z.

Коэффициент подобия от большого треугольника к малому равен отношению периметров: \(\dfrac{26}{39}=\dfrac{2}{3}\). Значит, соответствующая большой стороне \(z=AC\) малая сторона равна \(\dfrac{2}{3}z\). Так как \(A_1C_1=11\), получаем \(\dfrac{2}{3}z=11\), откуда \(z=16.5\).

Из соотношения \(a:b=2:3\), учитывая соответствие \(a\leftrightarrow y\) и \(b\leftrightarrow x\), следует \(y:x=2:3\). Периметр большого треугольника даёт \(x+y=39-16.5=22.5\).

Всего в отношении \(y:x=2:3\) пять частей. Одна часть равна \(22.5\div5=4.5\). Поэтому \(y=2\cdot4.5=9\), \(x=3\cdot4.5=13.5\).

Проверка: стороны малого треугольника равны \(9, 6, 11\), их сумма \(26\); условие выполняется.

Ответ: \(x=13.5,\ y=9,\ z=16.5\).