4. Дано: ABCD — прямоугольник; BK — биссектриса ∠DBC; BD — биссектриса ∠ABK; DL ∥ BK; KC = 3 см. Найти: P_DLBK.

1. Пусть \(\alpha=\angle ABD\). Поскольку BD — биссектриса угла ABK, \(\angle DBK=\alpha\). В прямоугольнике \(\angle DBC=90^\circ-\alpha\), а BK — биссектриса этого угла. Значит, \(\angle DBK=\dfrac{90^\circ-\alpha}{2}\).
2. Приравниваем углы: \(\alpha=\dfrac{90^\circ-\alpha}{2}\), откуда \(\alpha=30^\circ\). В прямоугольном треугольнике ABD \(\tan30^\circ=AD/AB\), поэтому \(AD=AB/\sqrt3\).
3. Пусть координаты прямоугольника: \(A(0,0), B(w,0), C(w,h), D(0,h)\). Тогда \(h/w=1/\sqrt3\). Луч BK образует с горизонталью угол 120°, поэтому при подъёме от B до стороны DC его горизонтальное смещение равно \(h/\sqrt3\). Следовательно, \(KC=h/\sqrt3=3\), откуда \(h=3\sqrt3\) и \(w=9\).
4. Треугольник BKC прямоугольный, с углами 30° и 60°; при \(KC=3\) получаем \(BK=6\). Так как DL ∥ BK, а AB ∥ DC, четырёхугольник DLBK — параллелограмм. Поэтому \(DL=BK=6\), а \(LB=DK=AB- KC=9-3=6\).
5. \(P_{DLBK}=DL+LB+BK+KD=6+6+6+6=24\) см.

Ответ: \(P_{DLBK}=24\) см.