4. Дано: ABCD — прямоугольник; BK — биссектриса угла DBC; BD — биссектриса угла ABK; DL ∥ BK; KC = 3 см. Найти: P_DLBK.

Луч BD делит угол ABK пополам, а BK делит угол DBC пополам. Поэтому три угла между BA, BD, BK и BC равны. Так как \(\angle ABC=90^\circ\), каждый из них равен \(30^\circ\).

В прямоугольнике пусть AB = h, BC = w. Из угла \(\angle ABD=30^\circ\) следует \(w/h=\tan30^\circ=1/\sqrt3\), то есть \(h=\sqrt3w\).

Пусть K лежит на CD. Поскольку BK образует с BC угол 30°, вертикальный отрезок KC равен \(w\tan30^\circ=w/\sqrt3\). По условию \(KC=3\), значит \(w=3\sqrt3\) см и \(h=9\) см.

Отрезок BK равен \(w/\cos30^\circ=6\) см. Поскольку DL ∥ BK, при движении от D до стороны AD получаем \(DL=6\) см; при этом \(AL=3\) см, поэтому \(LB=AB-AL=9-3=6\) см. Также \(KD=CD-KC=9-3=6\) см.

Следовательно, \(P_{DLBK}=DL+LB+BK+KD=6+6+6+6=24\) см.

Ответ: \(P_{DLBK}=24\) см.