4. Даны окружность \((x-3)^2+(y+5)^2=16\) и прямая \(d:-x-y+2=0\). а) Постройте в одной системе координат данные фигуры. б) Найдите координаты точек пересечения данных фигур.

а) Для построения используем центр окружности \(O(3;-5)\), радиус \(4\), а уравнение прямой преобразуем к виду \(y=2-x\).

б) На прямой \(y=2-x\). Подставим это выражение в уравнение окружности:

\((x-3)^2+(7-x)^2=16\).

Раскрываем скобки и упрощаем: \(2x^2-20x+42=16\), откуда \(x^2-10x+13=0\).

\(x=\frac{10\pm\sqrt{100-52}}{2}=5\pm2\sqrt3\). По уравнению прямой \(y=2-x\), поэтому соответствующие значения \(y\) равны \(-3\mp2\sqrt3\).

Ответ: \(P_1(5-2\sqrt3;-3+2\sqrt3)\) и \(P_2(5+2\sqrt3;-3-2\sqrt3)\).