4. Диагональ AC ромба ABCD равна 30, а tg ∠BCA = 4/3. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Пусть O — точка пересечения диагоналей. Тогда:

\[CO=\frac{AC}{2}=15.\]

В прямоугольном треугольнике BCO:

\[\tan\angle BCA=\frac{BO}{CO}=\frac{4}{3}.\]

Отсюда:

\[BO=15\cdot\frac{4}{3}=20,\qquad BD=2BO=40.\]

Площадь ромба:

\[S=\frac{AC\cdot BD}{2}=\frac{30\cdot40}{2}=600.\]

Сторона ромба является гипотенузой треугольника BCO:

\[AB=\sqrt{15^2+20^2}=25.\]

Полупериметр ромба равен \(2\cdot25=50\). Для вписанной окружности \(S=r\cdot p\), поэтому:

\[r=\frac{S}{p}=\frac{600}{50}=12.\]

Ответ: 12.