Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 4. Диагональ равнобедренной трапеции образует с боковыми сторонами углы 31° и 83°. Сколько градусов составляет угол при…Фото задания

Ответ:

Решение:

  1. Пусть дана равнобедренная трапеция \( ABCD \) с основаниями \( AD ― \parallel BC \) и боковыми сторонами \( AB = CD \).
  2. Пусть диагональ \( AC \) образует с боковой стороной \( AB \) угол \( \angle BAC = 31° \) и с боковой стороной \( CD \) угол \( \angle ACD = 83° \).
  3. Так как трапеция равнобедренная, \( AB = CD \), а диагонали равны \( AC = BD \).
  4. Углы при основании равны: \( \angle D = \angle A \) и \( \angle B = \angle C \).
  5. Рассмотрим \( \triangle ABC \) и \( \triangle DCB \). \( AB = DC \), \( BC = CB \), \( AC = DB \). Следовательно, \( \triangle ABC = \triangle DCB \) по трём сторонам.
  6. Значит, \( \angle BAC = \angle CDB = 31° \) и \( \angle BCA = \angle CAD = 83° \).
  7. Угол при большем основании \( AD \) равен \( \angle DAB \) и \( \angle ADC \).
  8. \( \angle DAB = \angle DAC + \angle CAB = 83° + 31° = 114° \).
  9. \( \angle ADC = \angle ADB + \angle BDC \).
  10. Так как \( BC ― \parallel AD \), то \( \angle ACB = \angle CAD \) (накрест лежащие углы).
  11. Но в условии сказано, что диагональ образует с боковыми сторонами углы 31° и 83°.
  12. Пусть \( \angle BAC = 31° \) и \( \angle ACD = 83° \).
  13. Так как \( BC ― \parallel AD \), то \( \angle BCA = \angle CAD \) (накрест лежащие).
  14. В \( \triangle ACD \) углы: \( \angle D \), \( \angle ACD = 83° \), \( \angle CAD \).
  15. \( \angle D + \angle ACD + \angle CAD = 180° \) \( \Rightarrow \angle D + 83° + \angle CAD = 180° \).
  16. \( \angle D = \angle A = \angle BAC + \angle CAD = 31° + \angle CAD \).
  17. Подставим \( \angle D \) в уравнение: \( (31° + \angle CAD) + 83° + \angle CAD = 180° \).
  18. \( 114° + 2\angle CAD = 180° \).
  19. \( 2\angle CAD = 180° - 114° = 66° \).
  20. \( \angle CAD = 33° \).
  21. Угол при большем основании \( AD \) равен \( \angle A = \angle BAC + \angle CAD = 31° + 33° = 64° \).
  22. Проверим: \( \angle D = 64° \). \( \angle B = \angle C = 180° - 64° = 116° \).
  23. \( \angle ACB = \angle CAD = 33° \).
  24. \( \angle BCD = \angle BCA + \angle ACD = 33° + 83° = 116° \). Это совпадает.

Ответ: 64°.