№4 Диагональ равнобокой трапеции с основаниями 7 и 18 см является биссектрисой острого угла трапеции. Найдите периметр трапеции.

Обозначим боковую сторону через \(l\), а высоту — через \(h\). В равнобокой трапеции с основаниями 18 см и 7 см горизонтальное смещение каждой боковой стороны равно \((18-7):2=5.5\) см. Горизонтальная проекция диагонали, проведённой из вершины острого угла, равна \((18+7):2=12.5\) см.

Пусть острый угол равен \(\alpha\). Из прямоугольного треугольника у боковой стороны \(\cos\alpha=5.5/l\). Диагональ — биссектриса, поэтому её направление образует с основанием угол \(\alpha/2\), и \(\tan(\alpha/2)=h/12.5\).

По формуле половинного угла \(\tan(\alpha/2)=h/(l+5.5)\). Следовательно, \(h/12.5=h/(l+5.5)\), откуда \(l=7\)?

Исправим соотношение: горизонтальная проекция диагонали от острой вершины к противоположной верхней вершине равна \((18+7)/2=12.5\), а биссектриса угла между основанием и боковой стороной имеет тангенс половинного угла \(h/(l+5.5)\). Равенство даёт \(l+5.5=12.5\), то есть \(l=7\).

Тогда периметр: \(18+7+2\cdot7=39\) см.

Ответ: 39 см.