4. До какой высоты следует налить однородную жидкость в сосуд, имеющий форму куба со стороной a, чтобы сила давления жидкости на дно сосуда была равна силе давления жидкости на его боковые стенки? (Толщиной стенок сосуда пренебречь)

Пусть высота жидкости равна \(h\). Сила давления на дно: \(F_{дно}=\rho g h a^2\).

На одну боковую стенку давление возрастает от нуля у поверхности до \(\rho gh\) у дна. Среднее давление равно \(\frac{\rho gh}{2}\), а площадь стенки, смоченная жидкостью, равна \(ah\). Поэтому сила на одну стенку равна \(\frac{\rho g a h^2}{2}\), а на четыре стенки — \(F_{бок}=2\rho g a h^2\).

Приравниваем силы: \(\rho g h a^2=2\rho g a h^2\). Для ненулевой высоты получаем \(h=\frac{a}{2}\).

Ответ: жидкость нужно налить на высоту \(\frac{a}{2}\).