4. Докажите, что четырехугольник MNPQ является параллелограммом, если: M(-5;1), N(-4;4), P(-1;5), Q(-2;2).

Для доказательства, что MNPQ - параллелограмм, нужно показать, что его противоположные стороны попарно параллельны (векторы, соответствующие этим сторонам, коллинеарны) и попарно равны по длине (или что его диагонали делятся точкой пересечения пополам). Сначала найдем векторы, соответствующие сторонам MNPQ: \(\vec{MN} = (-4 - (-5); 4 - 1) = (1; 3)\) \(\vec{PQ} = (-2 - (-1); 2 - 5) = (-1; -3)\) \(\vec{MQ} = (-2 - (-5); 2 - 1) = (3; 1)\) \(\vec{NP} = (-1 - (-4); 5 - 4) = (3; 1)\) Проверим коллинеарность и равенство длин противоположных сторон: \(\vec{MN} = -1 * \vec{PQ}\), следовательно, MN || PQ и |MN| = |PQ| \(\vec{MQ} = \vec{NP}\), следовательно, MQ || NP и |MQ| = |NP| Так как противоположные стороны MNPQ попарно параллельны и равны, то MNPQ - параллелограмм. Ответ: Четырехугольник MNPQ является параллелограммом.