4. Докажите, что четырёхугольник, изображённый на клетчатой бумаге, имеет два равных угла.

Обозначим вершины четырёхугольника по порядку: P — левая, Q — средняя левая, S — нижняя, R — верхняя. По клеткам можно взять координаты P(0; 1), Q(2; 1), S(3; 4), R(3; 0).

1. Векторы сторон угла P: \(\overrightarrow{PQ}=(2;0)\) и \(\overrightarrow{PR}=(3;-1)\). Их скалярное произведение равно 6, а длины равны 2 и \(\sqrt{10}\).
2. Векторы сторон угла S: \(\overrightarrow{SQ}=(-1;-3)\) и \(\overrightarrow{SR}=(0;-4)\). Их скалярное произведение равно 12, а длины равны \(\sqrt{10}\) и 4.
3. Косинусы углов равны: \(\cos\angle P=\frac{6}{2\sqrt{10}}=\frac{3}{\sqrt{10}}\) и \(\cos\angle S=\frac{12}{4\sqrt{10}}=\frac{3}{\sqrt{10}}\). Оба угла выпуклые, поэтому равенство косинусов означает равенство углов.

Ответ: равны углы при левой и нижней вершинах четырёхугольника.