4. Докажите, что если в четырёхугольнике все стороны равны, то этот четырёхугольник — ромб.

Пусть в четырёхугольнике ABCD все стороны равны: AB = BC = CD = DA. Проведём диагональ AC.

1. В треугольниках ABC и CDA: AB = CD, BC = DA, а AC — общая сторона. Следовательно, треугольники равны по трём сторонам.

2. Из равенства треугольников следует, что соответствующие углы равны: ∠BAC = ∠DCA и ∠BCA = ∠DAC. Это пары накрест лежащих углов при прямых AB и CD, а также BC и AD. Значит, AB ∥ CD и BC ∥ AD.

3. Итак, ABCD — параллелограмм, у которого все стороны равны. По определению такой параллелограмм является ромбом.

Что и требовалось доказать.