6. Опишите алгоритм построения трапеции по её основаниям и диагоналям.

Обозначим основания трапеции через a и b, а диагонали — через m и n. Для определённости построим трапецию ABCD так, чтобы AB = a, CD = b и AB ∥ CD. Выберем координаты A(0; 0), B(a; 0), D(x; h), C(x + b; h), где h > 0.

1. Из условий на диагонали получаем \(m^2=(x+b)^2+h^2\) и \(n^2=(x-a)^2+h^2\).

2. Вычитая второе равенство из первого, находим горизонтальное смещение верхнего основания: \(x=\frac{m^2-n^2-b^2+a^2}{2(a+b)}\).

3. Находим высоту: \(h=\sqrt{m^2-(x+b)^2}\). Для существования невырожденной трапеции подкоренное выражение должно быть положительным.

4. Построение циркулем и линейкой: на прямой отложить AB = a. Провести параллель к AB на расстоянии h. На этой параллели отметить D так, чтобы его проекция на AB имела координату x относительно A, затем отложить DC = b в направлении AB. Соединить A с C и B с D.

Построение возможно, если вычисленная высота действительна и положительна; при заданных произвольных длинах оснований и диагоналей такого условия может не выполняться.