4. Докажите, что выражение \(\frac{a^2-3}{(a-2)^4}-\frac{5a-1}{(a-2)^4}+\frac{a+6}{(a-2)^4}\) при всех \(a\ne2\) принимает положительные значения.

Приведём дроби к общему знаменателю:

\[\frac{a^2-3-(5a-1)+(a+6)}{(a-2)^4}=\frac{a^2-4a+4}{(a-2)^4}.\]

В числителе выделим квадрат:

\[\frac{a^2-4a+4}{(a-2)^4}=\frac{(a-2)^2}{(a-2)^4}=\frac1{(a-2)^2}.\]

При \(a\ne2\) число \((a-2)^2>0\), поэтому \(\frac1{(a-2)^2}>0\).

Ответ: выражение положительно при всех \(a\ne2\).