4. Докажите тождество: (cos²a - sin²a) / (cosa - sina) - tg a * cos a = cos a.

Доказательство:

Рассмотрим левую часть тождества:

\( \frac{\cos^2 a - \sin^2 a}{\cos a - \sin a} - \text{tg} a \cdot \cos a \)

Применим формулу разности квадратов \( \cos^2 a - \sin^2 a = (\cos a - \sin a)(\cos a + \sin a) \) в числителе первой дроби:

\( \frac{(\cos a - \sin a)(\cos a + \sin a)}{\cos a - \sin a} - \text{tg} a \cdot \cos a \)

Сократим дробь (при условии \( \cos a \neq \sin a \)):

\( \cos a + \sin a - \text{tg} a \cdot \cos a \)

Заменим \( \text{tg} a \) на \( \frac{\sin a}{\cos a} \):

\( \cos a + \sin a - \frac{\sin a}{\cos a} \cdot \cos a \)

Сократим \( \cos a \):

\( \cos a + \sin a - \sin a \)

\( = \cos a \)

Получили правую часть тождества. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.