5. Решите уравнение: a) sin 2x = 1; б) cos x * cos 2x + sin x * sin 2x = 0; в) cos²x = cos 2x.

Решение:

1. \( \sin 2x = 1 \). Общее решение уравнения \( \sin y = 1 \) имеет вид \( y = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
2. Тогда \( 2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \).
3. Разделим обе части на 2: \( x = \frac{\pi}{4} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
4. \( \cos x \cdot \cos 2x + \sin x \cdot \sin 2x = 0 \). Используем формулу косинуса разности \( \cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \). Здесь \( A = 2x \), \( B = x \).
5. Тогда уравнение принимает вид \( \cos(2x - x) = 0 \), то есть \( \cos x = 0 \).
6. Общее решение уравнения \( \cos x = 0 \) имеет вид \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
7. \( \cos^2 x = \cos 2x \). Используем формулу косинуса двойного угла \( \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 \).
8. Подставим в уравнение: \( \cos^2 x = 2\cos^2 x - 1 \).
9. Перенесём все члены в одну сторону: \( 2\cos^2 x - \cos^2 x - 1 = 0 \), что даёт \( \cos^2 x = 1 \).
10. Отсюда \( \cos x = 1 \) или \( \cos x = -1 \).
11. Решение уравнения \( \cos x = 1 \) имеет вид \( x = 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
12. Решение уравнения \( \cos x = -1 \) имеет вид \( x = \pi + 2\pi m \), где \( m \in \mathbb{Z} \).
13. Объединяя решения \( x = 2\pi n \) и \( x = \pi + 2\pi m \), получаем \( x = \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: a) \( x = \frac{\pi}{4} + \pi k \), \( k \in \mathbb{Z} \); б) \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \), \( k \in \mathbb{Z} \); в) \( x = \pi k \), \( k \in \mathbb{Z} \).