4. Докажите тождество, используя свойства чисел сочетаний: C(n,3) = C(n−1,2) + C(n−1,3).

По формуле сочетаний преобразуем правую часть:

\(C(n-1,2)+C(n-1,3)=\frac{(n-1)!}{2!(n-3)!}+\frac{(n-1)!}{3!(n-4)!}\).

Приведём слагаемые к общему знаменателю \(3!(n-3)!\):

\(\frac{3(n-1)!}{3!(n-3)!}+\frac{(n-1)!(n-3)}{3!(n-3)!}=\frac{n(n-1)!}{3!(n-3)!}=\frac{n!}{3!(n-3)!}=C(n,3)\).

Следовательно, правая часть равна левой, и тождество доказано. Для формулы нужны значения \(n\geq 3\).