4. Два отдела института купили бумагу и скрепки. Один отдел за 5 пачек бумаги и 4 коробки скрепок заплатил 114 р., а второй отдел за 2 такие же пачки бумаги и 2 коробки скрепок заплатил 60 р. Сколько стоит одна пачка бумаги и одна коробка скрепок?

Решение:

Пусть цена одной пачки бумаги будет \(б\) рублей, а цена одной коробки скрепок — \(с\) рублей.

Запишем условия в виде уравнений:

Первый отдел:

\[ 5б + 4с = 114 \]

Второй отдел:

\[ 2б + 2с = 60 \]

Составим систему уравнений:

\[ \begin{cases} 5б + 4с = 114 \\ 2б + 2с = 60 \end{cases} \]

Из второго уравнения выразим \(2с\):

\[ 2с = 60 - 2б \]

Тогда \(4с = 2 \cdot (2с) = 2 \cdot (60 - 2б) = 120 - 4б\).

Подставим это в первое уравнение:

\[ 5б + (120 - 4б) = 114 \]

\[ 5б + 120 - 4б = 114 \]

\[ б + 120 = 114 \]

\[ б = 114 - 120 \]

\[ б = -6 \]

Получили отрицательную цену, что невозможно. Перепроверим условие. Возможно, здесь есть опечатка.

Давайте решим систему методом сложения, разделив второе уравнение на 2:

\[ \begin{cases} 5б + 4с = 114 \\ б + с = 30 \end{cases} \]

Умножим второе уравнение на 4:

\[ \begin{cases} 5б + 4с = 114 \\ 4б + 4с = 120 \end{cases} \]

Вычтем из второго уравнения первое:

\[ (4б + 4с) - (5б + 4с) = 120 - 114 \]

\[ 4б + 4с - 5б - 4с = 6 \]

\[ -б = 6 \]

\[ б = -6 \]

Снова получаем отрицательную цену. Вероятно, в условии задачи есть ошибка в числах.

Если предположить, что второе условие было: «второй отдел за 3 такие же пачки бумаги и 2 коробки скрепок заплатил 60 р.»

Тогда система будет:

\[ \begin{cases} 5б + 4с = 114 \\ 3б + 2с = 60 \end{cases} \]

Умножим второе уравнение на 2:

\[ \begin{cases} 5б + 4с = 114 \\ 6б + 4с = 120 \end{cases} \]

Вычтем из второго уравнения первое:

\[ (6б + 4с) - (5б + 4с) = 120 - 114 \]

\[ б = 6 \]

Теперь найдём \(с\), подставив \(б=6\) во второе уравнение \(3б + 2с = 60\):

\[ 3(6) + 2с = 60 \]

\[ 18 + 2с = 60 \]

\[ 2с = 60 - 18 \]

\[ 2с = 42 \]

\[ с = 21 \]

Проверка: \(5 \cdot 6 + 4 \cdot 21 = 30 + 84 = 114\). \(3 \cdot 6 + 2 \cdot 21 = 18 + 42 = 60\).

Ответ (с учетом исправления в условии): Одна пачка бумаги стоит 6 р., одна коробка скрепок — 21 р.