4. Хорды АС и BD окружности пересекаются в точке Р, BP = 10, CP = 8, DP = 12. Найдите АР.

Решение:

Используем свойство пересекающихся хорд: произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

По условию:

• \( BP = 10 \)
• \( CP = 8 \)
• \( DP = 12 \)

Пусть \( AP = x \).

Согласно свойству пересекающихся хорд:

\( AP \cdot CP = BP \cdot DP \)

\[ x \cdot 8 = 10 \cdot 12 \]

\[ 8x = 120 \]

\[ x = \frac{120}{8} \]

\[ x = 15 \]

Следовательно, \( AP = 15 \).

Ответ: 15.