4. Используя правила умножения и деления степеней, упростите выражение: 1) x² ⋅ x⁸ : x; 2) x⁵ : x² : x²; 3) x¹⁵ : x⁵ ⋅ x; 4) x¹⁰ : x⁶ ⋅ x⁴.

Решение:

Используем правила умножения степеней с одинаковым основанием ( \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) ) и деления степеней с одинаковым основанием ( \( a^m : a^n = a^{m-n} \) ).

1) \( x^2 \cdot x^8 : x \)

1. Сначала выполним умножение: \( x^2 \cdot x^8 = x^{2+8} = x^{10} \)
2. Теперь выполним деление: \( x^{10} : x^1 = x^{10-1} = x^9 \)

2) \( x^5 : x^2 : x^2 \)

1. Выполним деление слева направо: \( x^5 : x^2 = x^{5-2} = x^3 \)
2. Продолжим деление: \( x^3 : x^2 = x^{3-2} = x^1 = x \)

3) \( x^{15} : x^5 \cdot x \)

1. Выполним деление: \( x^{15} : x^5 = x^{15-5} = x^{10} \)
2. Теперь выполним умножение: \( x^{10} \cdot x^1 = x^{10+1} = x^{11} \)

4) \( x^{10} : x^6 \cdot x^4 \)

1. Выполним деление: \( x^{10} : x^6 = x^{10-6} = x^4 \)
2. Теперь выполним умножение: \( x^4 \cdot x^4 = x^{4+4} = x^8 \)

Ответ: 1) \( x^9 \); 2) \( x \); 3) \( x^{11} \); 4) \( x^8 \).