4. Исследуйте функцию и постройте её график: y = 2x³ + 3x² − 1.

Область определения — все действительные числа. Производная: \(y'=6x^2+6x=6x(x+1)\). Критические точки: \(x=-1\) и \(x=0\).

Знак производной показывает, что функция возрастает на \((−∞;-1)\) и \((0;+∞)\), убывает на \((-1;0)\). Значения в критических точках: \(y(-1)=0\), \(y(0)=-1\). Поэтому в точке \((-1;0)\) находится локальный максимум, а в точке \((0;-1)\) — локальный минимум.

Разложение на множители: \(2x^3+3x^2-1=(x+1)^2(2x-1)\). Нули функции: \(x=-1\) и \(x=0.5\); пересечение с осью \(Oy\) — \((0;-1)\). Вторая производная \(y''=12x+6\), поэтому точка перегиба — \((-0.5;-0.5)\).