4. Из двух математических маятников один совершил 10 колебаний, а другой за то же время 6 колебаний. Найти длину каждого, если сумма их длин равна 68 см.

За одинаковое время число колебаний обратно пропорционально периоду, а для математического маятника \(T\propto\sqrt{l}\). Поэтому \(n_1/n_2=\sqrt{l_2/l_1}\).

Пусть \(l_1\) — длина маятника, совершившего 10 колебаний, а \(l_2\) — длина маятника, совершившего 6. Тогда \(l_2/l_1=(10/6)^2=25/9\), то есть \(l_2=(25/9)l_1\).

С учётом суммы длин:

\[l_1+l_2=68,\qquad l_1+\frac{25}{9}l_1=68.\]

Отсюда \(l_1=68\cdot9/34=18\) см, а \(l_2=68-18=50\) см.

Ответ: длина маятника с 10 колебаниями — 18 см, с 6 колебаниями — 50 см.