5. Груз массой 400 г совершает колебания на пружине жесткостью 250 Н/м. Амплитуда колебаний 15 см. Определите наибольшую скорость движения груза и потенциальную энергию пружины в тот момент времени, когда смещение равно половине амплитуды.

Переведём величины в СИ: \(m=0.4\) кг, \(A=0.15\) м, \(x=A/2=0.075\) м, \(k=250\) Н/м.

Наибольшая скорость достигается при прохождении положения равновесия. Из равенства полной энергии максимальной кинетической энергии:

\[\frac{mv_{\max}^2}{2}=\frac{kA^2}{2},\qquad v_{\max}=A\sqrt{\frac{k}{m}}=0.15\sqrt{\frac{250}{0.4}}=3.75\text{ м/с}.\]

Потенциальная энергия пружины при смещении \(x=A/2\):

\[E_p=\frac{kx^2}{2}=\frac{250\cdot(0.075)^2}{2}=0.703125\text{ Дж}.\]

Ответ: \(v_{\max}=3.75\) м/с; потенциальная энергия при смещении, равном половине амплитуды, — примерно 0.703 Дж.