4. Известны два члена геометрической прогрессии: b₄ = 2 и b₈ = 200. Найдите ее первый член.

Краткое пояснение:

Для решения этой задачи мы воспользуемся свойствами геометрической прогрессии, а именно формулой n-го члена \( b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \). Из этой формулы мы можем выразить знаменатель прогрессии \( q \) через два известных члена, а затем найти первый член \( b_1 \).

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Записываем формулы для известных членов прогрессии:
   \( b_4 = b_1 · q^{4-1} = b_1 · q^3 = 2 \) (1)
   \( b_8 = b_1 · q^{8-1} = b_1 · q^7 = 200 \) (2)
2. Шаг 2: Разделим уравнение (2) на уравнение (1), чтобы исключить \( b_1 \) и найти \( q \):
   \( \frac{b_1 · q^7}{b_1 · q^3} = \frac{200}{2} \)
   \( q^{7-3} = 100 \)
   \( q^4 = 100 \)
3. Шаг 3: Извлечем корень четвертой степени, чтобы найти \( q \):
   \( q = ±√[4]{100} = ±√{10} \).
   Так как в условии не указано, что прогрессия состоит из положительных чисел, мы рассматриваем оба варианта. Однако, для дальнейшего расчета \( b_1 \), проще использовать \( q^4 \).
4. Шаг 4: Подставим \( q^3 \) из (1) в формулу для \( b_1 \). Из \( q^4 = 100 \), следует, что \( q^3 = \frac{100}{q} \).
   Из уравнения (1): \( b_1 = \frac{2}{q^3} \).
5. Шаг 5: Подставим \( q^4=100 \) в уравнение (1), выразив \( q^3 \).
   \( q^3 = \frac{q^4}{q} = \frac{100}{q} \).
   Однако, проще воспользоваться тем, что \( q^4=100 \).
   Из уравнения (1) \( b_1 = \frac{2}{q^3} \).
   Из уравнения (2) \( b_1 = \frac{200}{q^7} \).
   Давайте вернемся к \( q^4 = 100 \).
   Из \( b_1 = \frac{2}{q^3} \) мы можем возвести обе части в 4 степень: \( b_1^4 = \frac{2^4}{(q^3)^4} = \frac{16}{q^{12}} \).
   Это усложняет. Проще выразить \( b_1 \) из \( q^4 = 100 \).
   \( q^2 = 10 \)
   \( q = ±√{10} \).
   
   Рассмотрим \( b_1 = \frac{2}{q^3} \).
   Если \( q = √{10} \), то \( q^3 = (√{10})^3 = 10√{10} \).
   \( b_1 = \frac{2}{10√{10}} = \frac{1}{5√{10}} = \frac{√{10}}{50} \).
   Если \( q = -√{10} \), то \( q^3 = (-√{10})^3 = -10√{10} \).
   \( b_1 = \frac{2}{-10√{10}} = \frac{-1}{5√{10}} = \frac{-√{10}}{50} \).
   
   Попробуем найти \( b_1 \) другим способом.
   \( q^4 = 100 \).
   Из (1): \( b_1 = \frac{2}{q^3} \).
   Используем \( q^4=100 \) для упрощения.
   \( b_1 = \frac{b_4}{q^3} = \frac{2}{q^3} \).
   \( b_1 = \frac{b_8}{q^7} = \frac{200}{q^7} \).
   
   Возведем \( b_1 = \frac{2}{q^3} \) в 4 степень: \( b_1^4 = \frac{16}{q^{12}} \).
   Возведем \( b_1 = \frac{200}{q^7} \) в 3 степень: \( b_1^3 = \frac{200^3}{q^{21}} \).
   
   Давайте подставим \( q^4=100 \) в \( b_4 \):
   \( b_4 = b_1 · q^3 = 2 \).
   Умножим обе части на \( q \): \( b_1 · q^4 = 2q \).
   \( b_1 · 100 = 2q \).
   \( b_1 = \frac{2q}{100} = \frac{q}{50} \).
   
   Теперь у нас есть два выражения для \( b_1 \):
   \( b_1 = \frac{q}{50} \) и \( b_1 = \frac{2}{q^3} \).
   Подставим первое во второе:
   \( \frac{q}{50} = \frac{2}{q^3} \)
   \( q^4 = 100 \). Мы вернулись к тому, что знаем.
   
   Подставим \( q = ±√{10} \) в \( b_1 = \frac{q}{50} \).
   Если \( q = √{10} \), то \( b_1 = \frac{√{10}}{50} \).
   Если \( q = -√{10} \), то \( b_1 = \frac{-√{10}}{50} \).
   
   Поскольку в условии не указано, что члены прогрессии положительны, оба варианта возможны. Но чаще всего в таких задачах подразумевается положительная прогрессия, если не указано иное.
   Давайте проверим второй вариант.
   Если \( b_1 = \frac{√{10}}{50} \) и \( q = √{10} \):
   \( b_4 = b_1 · q^3 = \frac{√{10}}{50} · (√{10})^3 = \frac{√{10}}{50} · 10√{10} = \frac{100}{50} = 2 \). Верно.
   \( b_8 = b_1 · q^7 = \frac{√{10}}{50} · (√{10})^7 = \frac{√{10}}{50} · 100√{10} = \frac{1000}{50} = 20 \). Неверно, должно быть 200.
   
   Ошибка в рассуждении.
   \( q^4 = 100 \).
   \( b_1 = \frac{2}{q^3} \).
   
   Давайте подставим \( q^3 = \frac{b_8}{b_1} \) и \( q^7 = \frac{b_8}{b_1} \)
   \( b_4 = b_1 · q^3 \)
   \( b_8 = b_1 · q^7 = b_1 · q^3 · q^4 = b_4 · q^4 \).
   \( 200 = 2 · q^4 \)
   \( q^4 = \frac{200}{2} = 100 \).
   
   Теперь используем \( b_1 = \frac{b_4}{q^3} \)
   \( q^4 = 100 \) => \( q = ±√{10} \)
   \( q^3 = q · q^2 \).
   \( q^2 = √{100} = 10 \).
   \( q^3 = ±√{10} · 10 = ±{10}√{10} \).
   
   \( b_1 = \frac{2}{±{10}√{10}} = \frac{± 1}{5√{10}} = \frac{± √{10}}{50} \).
   
   Проверка:
   Если \( b_1 = \frac{√{10}}{50} \) и \( q = √{10} \):
   \( b_4 = \frac{√{10}}{50} · (√{10})^3 = \frac{√{10}}{50} · 10√{10} = \frac{100}{50} = 2 \).
   \( b_8 = b_4 · q^4 = 2 · 100 = 200 \). Верно.
   
   Если \( b_1 = \frac{-√{10}}{50} \) и \( q = -√{10} \):
   \( b_4 = \frac{-√{10}}{50} · (-√{10})^3 = \frac{-√{10}}{50} · (-10√{10}) = \frac{100}{50} = 2 \).
   \( b_8 = b_4 · q^4 = 2 · 100 = 200 \). Верно.
   
   Таким образом, оба варианта \( b_1 = \frac{√{10}}{50} \) и \( b_1 = \frac{-√{10}}{50} \) являются решениями.
   В контексте школьных задач, чаще всего подразумевается положительный знаменатель, если не указано обратное.
   Если \( q^4 = 100 \), то \( q^2 = 10 \).
   \( b_1 = \frac{2}{q^3} \).
   \( b_1 · q^3 = 2 \).
   \( b_1 · q · q^2 = 2 \).
   \( b_1 · q · 10 = 2 \)
   \( b_1 · q = \frac{2}{10} = 0.2 \)
   \( b_1 · ±√{10} = 0.2 \)
   \( b_1 = \frac{0.2}{±√{10}} = \frac{1/5}{±√{10}} = \frac{1}{± 5√{10}} = \frac{± √{10}}{± 50} \).
   
   Финальное упрощение:
   \( q^4 = 100 \)
   \( b_1 = \frac{b_4}{q^3} = \frac{2}{q^3} \).
   \( b_1 = \frac{2 · q}{q^4} = \frac{2q}{100} = \frac{q}{50} \).
   
   Если \( q = √{10} \), то \( b_1 = \frac{√{10}}{50} \).
   Если \( q = -√{10} \), то \( b_1 = \frac{-√{10}}{50} \).
6. Шаг 6: Выбираем один из вариантов ответа. Если не указано иное, примем \( q \) положительным.
   \( b_1 = \frac{√{10}}{50} \)

Ответ: \( \frac{\sqrt{10}}{50} \) или \( \frac{-\sqrt{10}}{50} \)