4. Известны два члена геометрической прогрессии: b₄ = 2 и b₆ = 200. Найдите ее первый член.

Решение:

У нас есть два члена геометрической прогрессии: \( b_4 = 2 \) и \( b_6 = 200 \).

Используем формулу n-го члена: \( b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \).

Запишем уравнения для данных членов:

1) \( b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} \Rightarrow 2 = b_1 \cdot q^3 \)

2) \( b_6 = b_1 \cdot q^{6-1} \Rightarrow 200 = b_1 \cdot q^5 \)

Разделим второе уравнение на первое, чтобы найти \( q \):

\[ \frac{200}{2} = \frac{b_1 \cdot q^5}{b_1 \cdot q^3} \]

\[ 100 = q^{5-3} = q^2 \]

Из \( q^2 = 100 \) следует, что \( q = 10 \) или \( q = -10 \).

Теперь найдем \( b_1 \) используя первое уравнение \( 2 = b_1 \cdot q^3 \).

Случай 1: q = 10

\[ 2 = b_1 \cdot (10)^3 \]

\[ 2 = b_1 \cdot 1000 \]

\[ b_1 = \frac{2}{1000} = 0.002 \]

Случай 2: q = -10

\[ 2 = b_1 \cdot (-10)^3 \]

\[ 2 = b_1 \cdot (-1000) \]

\[ b_1 = \frac{2}{-1000} = -0.002 \]

Ответ: 0.002 или -0.002