4) Камень бросают в глубокое ущелье. При этом в первую секунду он пролетает 7 метров, а в каждую следующую секунду на 10 метров больше, чем в предыдущую, до тех пор, пока не достигнет дна ущелья. Сколько метров пролетит камень за первые шесть секунд?

Решение:

Это задача на арифметическую прогрессию. Камень пролетает расстояние, которое увеличивается с каждой секундой.

Первая секунда: \( a_1 = 7 \text{ м} \).

Каждую следующую секунду пролетает на 10 метров больше, значит, разность прогрессии \( d = 10 \text{ м} \).

Нам нужно найти общее расстояние, которое пролетит камень за первые шесть секунд. Это сумма первых шести членов арифметической прогрессии.

Формула для \( n \)-го члена арифметической прогрессии: \( a_n = a_1 + (n-1)d \).

Найдем расстояние, которое камень пролетит в шестую секунду:

\( a_6 = a_1 + (6-1)d = 7 + (5 \times 10) = 7 + 50 = 57 \text{ м} \).

Формула для суммы первых \( n \) членов арифметической прогрессии:

\( S_n = \frac{(a_1 + a_n) \times n}{2} \)

Подставляем значения для \( n=6 \):

\( S_6 = \frac{(a_1 + a_6) \times 6}{2} = \frac{(7 + 57) \times 6}{2} \)

\( S_6 = \frac{64 \times 6}{2} \)

\( S_6 = 64 \times 3 \)

\( S_6 = 192 \text{ м} \).

Ответ: 192.