№ 4. Лодка прошла 10 км по течению реки и 6 км против течения, затратив на весь путь 2 часа. Найдите собственную скорость лодки (в км/ч), если скорость течения 2 км/ч. Составьте уравнение, обозначив буквой x собственную скорость лодки, и решите задачу.

Пусть x км/ч — собственная скорость лодки. Тогда скорость по течению равна \(x+2\), а против течения — \(x-2\). Требуется \(x>2\).

Время равно расстоянию, делённому на скорость. Составим уравнение по суммарному времени:

\(\frac{10}{x+2}+\frac{6}{x-2}=2\).

Умножим на \((x+2)(x-2)\): \(10(x-2)+6(x+2)=2(x^2-4)\).

Раскроем скобки: \(16x-8=2x^2-8\); \(2x(x-8)=0\). Получаем \(x=0\) или \(x=8\). С учётом условия \(x>2\) подходит только \(x=8\).

Проверка: по течению скорость 10 км/ч, время — 1 ч; против течения скорость 6 км/ч, время — 1 ч. Всего 2 ч.

Ответ: 8 км/ч.