4. Множества A и B обозначают A\(\B\) и называют разностью множеств A и B. Это множество состоит из всех элементов множества A, которые не являются элементами множества B. Докажите тождество: а) A\(\B\) = A ∩ B̅; б) \(\overline{A\B}\) = A̅ ∪ B.

а) По определению разности, элемент принадлежит A\(\B\), если он принадлежит A и не принадлежит B. Значит, он принадлежит A и дополнению B̅:

\(x\in A\setminus B \iff x\in A\text{ и }x\notin B \iff x\in A\cap\overline B.\)

Следовательно, \(A\setminus B=A\cap\overline B\).

б) Элемент не принадлежит разности, если он не принадлежит A или принадлежит B:

\(x\in\overline{A\setminus B}\iff x\notin A\setminus B\iff x\notin A\text{ или }x\in B\iff x\in\overline A\cup B.\)

Следовательно, \(\overline{A\setminus B}=\overline A\cup B\).