4. Может ли уравнение \(x^3-x^2+x-3x^2-x^3+x+1=0\) иметь отрицательные корни?

Приведём подобные слагаемые: \(x^3-x^3-x^2-3x^2+x+x+1=0\), откуда \(-4x^2+2x+1=0\).

Умножим уравнение на \(-1\): \(4x^2-2x-1=0\). По формуле корней:

\(x=\dfrac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot4\cdot(-1)}}{8}=\dfrac{1\pm\sqrt5}{4}\).

Поскольку \(\sqrt5>1\), корень \(\dfrac{1-\sqrt5}{4}\) отрицательный.

Ответ: да, уравнение имеет отрицательный корень \(\dfrac{1-\sqrt5}{4}\).