5. Подберите в каждом случае такие коэффициенты a, b, c, чтобы уравнение имело корни x₁=−1 и x₂=4: а) x⁴+ax³+bx²+cx+1=0; б) x³+ax²+bx+c=0.

Подстановка заданных корней требует, чтобы левая часть обращалась в нуль при \(x=-1\) и \(x=4\).

а) Для \(x^4+ax^3+bx^2+cx+1\):

• При \(x=-1\): \(1-a+b-c+1=0\), то есть \(-a+b-c=-2\).
• При \(x=4\): \(256+64a+16b+4c+1=0\), то есть \(64a+16b+4c=-257\).

Это две линейные связи для трёх коэффициентов, поэтому решений много. Возьмём \(a=0\). Тогда \(b-c=-2\), \(16b+4c=-257\). Решение: \(b=-\dfrac{265}{20}\), \(c=-\dfrac{225}{20}\). Следовательно, подходит, например, \(a=0, b=-\dfrac{53}{4}, c=-\dfrac{45}{4}\).

б) Для кубического уравнения удобно взять многочлен с указанными корнями: \((x+1)(x-4)^2\). Раскрывая скобки, получаем \((x+1)(x^2-8x+16)=x^3-7x^2+8x+16\). Значит, подходит \(a=-7, b=8, c=16\).

Ответ: а) например, \(a=0, b=-\dfrac{53}{4}, c=-\dfrac{45}{4}\); б) \(a=-7, b=8, c=16\).