4. Можно ли расположить шесть точек на четырех отрезках, не лежащих на одной прямой, так, чтобы каждому отрезку принадлежало по три точки?

Да. Расположим точки как вершины четырехугольника и проведём его четыре стороны. Каждой стороне принадлежат две соседние вершины; чтобы на каждом отрезке было по три точки, разместим одну дополнительную точку на каждой стороне. Однако это даст восемь точек, а требуется шесть. Поэтому воспользуемся конфигурацией, где четыре отрезка пересекаются в общих точках.

Проведём четыре прямые-отрезка так, чтобы они образовали четырёхугольник с двумя диагоналями, но выберем четыре отрезка как стороны и одну диагональ — это пять отрезков, не подходит. Для шести точек и четырёх отрезков с тремя точками на каждом достаточно взять четыре отрезка, образующие полный четырёхугольник: его шесть точек пересечения попарно выбранных прямых (вершины и пересечения диагоналей) дают по три точки на каждой из четырёх прямых при подходящем выборе.

Построение: возьмём четыре прямые общего положения, без параллельных пар и без трёх проходящих через одну точку. Они имеют шесть попарных точек пересечения, но на каждой прямой окажется три точки пересечения с тремя другими прямыми. На каждой прямой выберем отрезок, содержащий эти три точки. Четыре прямые не совпадают, следовательно, отрезки не лежат на одной прямой.

Ответ: да.