5. Расположите шесть отрезков так, чтобы каждый из них имел общие точки ровно с тремя другими и число всех этих точек было равно пяти.

Расположим три отрезка через одну общую точку O так, чтобы они попарно пересекались только в O. Добавим ещё три отрезка, каждый из которых пересекает ровно два из первых трёх отрезков и не пересекает остальные отрезки. Тогда каждый из первых трёх отрезков имеет общие точки с тремя другими: с двумя первыми в точке O и ещё с одним добавленным; добавленные отрезки можно соединить попарными пересечениями так, чтобы каждому принадлежало три пересечения. Полученная конструкция должна иметь пять различных точек пересечения.

Удобная схема задаётся графом пересечений: шесть отрезков соответствуют вершинам, а пять точек пересечения — пяти точкам, каждая из которых объединяет пары отрезков. Для выполнения условия каждая вершина должна иметь степень 3, то есть сумма степеней равна 18. Пять точек могут дать не более десяти пар пересекающихся отрезков, тогда как требуется девять пар. Например, распределение точек пересечения по числу проходящих через них отрезков: в трёх точках пересекаются по три отрезка и в двух — по два. Тогда число пар пересекающихся отрезков равно 3·3 + 2·1 = 11, что больше требуемых девяти, поэтому такую конфигурацию надо уточнить.

В условии «имеет общие точки ровно с тремя другими» каждый отрезок должен пересекать три разных отрезка; по шести отрезкам это требует девяти пар отрезков. Пять точек пересечения могут дать ровно девять пар, если в одной точке пересекутся три отрезка (3 пары), а в остальных четырёх точках пересекутся по два (4 пары): всего 7, не 9. Следовательно, подходящее распределение — две тройные точки и три обычные: 2·3 + 3·1 = 9 пар.

Сделаем две тройные точки O и P: через O проведём отрезки 1, 2, 3, а через P — отрезки 4, 5, 6. Разместим отрезки так, чтобы дополнительно пересеклись отрезки 1 и 4, 2 и 5, 3 и 6 в трёх разных точках. Тогда всего пять точек пересечения, но у каждого отрезка общие точки ровно с тремя другими: два отрезка из своей тройки и один из другой.

Ответ: две тройные точки пересечения и три попарные, устроенные указанным образом.