4. МРКТ — ромб (см. рис. 12), O — точка пересечения диагоналей. MP = 25, PO = 24, MO = 7, ∠MTO = 30°. Найдите значения величин: ∠MPT, ∠TPK, ∠MOP, ∠TKP, ∠PMK.

В данных есть противоречие: из \(MP=25\), \(PO=24\) и \(MO=7\) следует, что треугольник \(MOP\) прямоугольный, так как \(7^2+24^2=25^2\). В ромбе диагональ \(TP\) проходит через O и биссектрисой делит угол при T. Поэтому эти длины задают \(\angle MTO=\arctan(7/24)\approx16.26^\circ\), а не 30°.

Если использовать согласующиеся длины 7, 24 и 25: диагонали ромба перпендикулярны, а диагональ \(TP\) делит угол при P пополам. Поэтому \(\angle MPT=\angle TPK=\arctan(7/24)\approx16.26^\circ\), \(\angle MOP=90^\circ\). Угол при M равен \(2\arctan(24/7)\approx147.48^\circ\), а противоположный ему угол при K такой же. Следовательно, \(\angle TKP\approx147.48^\circ\), \(\angle PMK=\arctan(24/7)\approx73.74^\circ\).

Если верно данное в условии \(\angle MTO=30^\circ\): вследствие свойства диагонали-биссектрисы \(\angle MPT=\angle TPK=30^\circ\); соседние углы ромба равны 120°, поэтому \(\angle TKP=120^\circ\) и \(\angle PMK=60^\circ\); \(\angle MOP=90^\circ\). В этом прочтении числовые данные 25, 24 и 7 не согласуются с заданным углом.