4. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён острый угол. Найдите тангенс этого угла.

Решение:

На клетчатой бумаге изображён острый угол. Для нахождения тангенса этого угла, мы можем построить прямоугольный треугольник, где стороны угла являются катетами или гипотенузой, или провести линию, перпендикулярную одной из сторон угла, и найти тангенс угла, образованного этой линией и другой стороной угла.

Предположим, что одна вершина угла находится в точке (0,0). Одна сторона угла проходит через точки (0,0) и (4,2). Другая сторона угла проходит через точки (0,0) и (2,4).

Это не острый угол, а развернутый угол.

Рассмотрим изображенный угол. Одна сторона угла проходит через точки (0,0) и (2,1). Другая сторона проходит через точки (0,0) и (1,3).

Для вычисления тангенса острого угла, изображенного на клетчатой бумаге, нужно построить прямоугольный треугольник, используя линии сетки.

Определим координаты вершин угла, если одна вершина находится в начале координат (0,0).

Пусть одна сторона угла проходит через точки (0,0) и (2,1).

Пусть другая сторона угла проходит через точки (0,0) и (4,2).

Угол между этими двумя линиями является острым. Давайте вычислим тангенс угла, образованного каждой линией с горизонтальной осью.

Для первой линии, проходящей через (0,0) и (2,1), тангенс угла \( _1 \) с горизонтальной осью равен:

\( \tan(_1) = \frac{\text{изменение по y}}{\text{изменение по x}} = \frac{1-0}{2-0} = \frac{1}{2} \)

Для второй линии, проходящей через (0,0) и (4,2), тангенс угла \( _2 \) с горизонтальной осью равен:

\( \tan(_2) = \frac{\text{изменение по y}}{\text{изменение по x}} = \frac{2-0}{4-0} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)

Это означает, что обе линии лежат на одной прямой. Это не острый угол.

Давайте переинтерпретируем изображение. Изображен один острый угол, одна из вершин которого находится в точке сетки. Одна сторона угла проходит через две точки сетки, другая — через две другие точки сетки.

Пусть вершина угла находится в точке (0,0).

Одна сторона проходит через (0,0) и (4,1).

Другая сторона проходит через (0,0) и (1,3).

Угол между этими двумя векторами.

Тангенс угла \( \) между двумя прямыми, заданными углами \( _1 \) и \( _2 \) с осью Ox, равен:

\( \tan() = \frac{\tan(_2) - \tan(_1)}{1 + \tan(_1) \tan(_2)} \)

В данном случае, тангенс угла, образованного первой линией (через (0,0) и (4,1)), с осью Ox:

\( \tan(_1) = \frac{1}{4} \)

Тангенс угла, образованного второй линией (через (0,0) и (1,3)), с осью Ox:

\( \tan(_2) = \frac{3}{1} = 3 \)

Используем формулу тангенса разности углов:

\( \tan() = \frac{3 - \frac{1}{4}}{1 + \frac{1}{4} \times 3} = \frac{\frac{12}{4} - \frac{1}{4}}{1 + \frac{3}{4}} = \frac{\frac{11}{4}}{\frac{4}{4} + \frac{3}{4}} = \frac{\frac{11}{4}}{\frac{7}{4}} = \frac{11}{7} \)

Ответ: