4. На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AC.

Решение:

1. Определим координаты вершин треугольника ABC, предполагая, что нижний левый угол сетки соответствует началу координат (0,0).
2. Пусть A = (0,0).
3. По рисунку, вершина B находится на 4 клетки вправо и 5 клеток вверх от A, значит B = (4,5).
4. Вершина C находится на 6 клеток вправо от A и 0 клеток вверх, значит C = (6,0).
5. Средняя линия треугольника, параллельная стороне AC, соединяет середины сторон AB и BC.
6. Найдем середину стороны AB (точка M):
7. \[ M = \left( \frac{0+4}{2}, \frac{0+5}{2} \right) = \left( 2, \frac{5}{2} \right) \]
8. Найдем середину стороны BC (точка N):
9. \[ N = \left( \frac{4+6}{2}, \frac{5+0}{2} \right) = \left( 5, \frac{5}{2} \right) \]
10. Длина средней линии MN равна расстоянию между точками M и N:
11. \[ MN = \sqrt{(5-2)^2 + \left(\frac{5}{2} - \frac{5}{2}\right)^2} = \sqrt{3^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3 \]
12. Альтернативный способ: Длина средней линии треугольника, параллельной одной из сторон, равна половине длины этой стороны.
13. Найдем длину стороны AC:
14. \[ AC = \sqrt{(6-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{6^2} = 6 \]
15. Длина средней линии, параллельной AC, равна \[ \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \times 6 = 3 \]

Ответ: 3