4. На продолжении BD параллелограмма ABCD отметили точки M и K так, что ∠BAM = ∠DCK (точка M лежит между точками B и K). Докажите, что BM = DK.

Так как ABCD — параллелограмм, \(AB=CD\) и \(AB\parallel CD\). Точки B, D, M, K лежат на одной прямой в порядке, при котором лучи BM и DK направлены одинаково. Поэтому \(\angle ABM=\angle CDK\).

По условию \(\angle BAM=\angle DCK\). Следовательно, треугольники ABM и CDK равны по стороне и двум прилежащим к ней углам: \(AB=CD\), \(\angle ABM=\angle CDK\), \(\angle BAM=\angle DCK\).

У равных треугольников соответствующие стороны равны, значит \(BM=DK\).

Что и требовалось доказать.