4. На рисунке ABCD — трапеция, BCKH — прямоугольник, его диагонали параллельны боковым сторонам трапеции. 1) Докажите, что △ABK — равнобедренный. 2) Докажите, что AD = 3BC.

1) Так как BCKH — прямоугольник, его противоположные стороны равны: HK = BC. По условию диагональ BK параллельна боковой стороне AB. Кроме того, BH и HK перпендикулярны, а расстояние между параллельными прямыми, содержащими AB и BK, равно BH. Из расположения сторон на рисунке получаем, что горизонтальное смещение от A до H равно HK, поэтому AH = HK = BC. Для доказательства равенства сторон треугольника удобнее сравнить △ABH и △KBH: это прямоугольные треугольники с общим катетом BH и равными катетами AH = HK; следовательно, AB = BK. Значит, △ABK равнобедренный.

2) Из параллельности AB и диагонали BK и из того, что обе соединяют уровни нижнего и верхнего оснований, следует AH = HK. Аналогично из параллельности CD и диагонали CH следует KD = HK. Поэтому \(AD = AH + HK + KD = 3HK\). Так как HK = BC, получаем \(AD = 3BC\).

Ответ: AB = BK, а AD = 3BC.