4. На рисунке ABCD — трапеция, диагонали прямоугольника BCKH параллельны боковым сторонам трапеции. а) Докажите, что △ABK — равнобедренный. б) Докажите, что AD = 3BC.

Пусть H и K — нижние вершины прямоугольника, как на рисунке. Обозначим BC = HK = w. Диагонали прямоугольника равны, поэтому BK = CH.

1. Так как AB параллельна диагонали CH, а точки A, H, K, D лежат на одной прямой, треугольники AHB и KHC подобны. У прямоугольника BH = CK и HK = BC, поэтому соответствующие катеты в этих прямоугольных треугольниках равны: AH = CK и BH = HK. Отсюда AB = CH.
2. Поскольку CH = BK, получаем AB = BK. Следовательно, △ABK равнобедренный.
3. Из подобия △AHB и △KHC также следует AH = HK. Аналогично, из параллельности CD и диагонали BK прямоугольника следует KD = HK. Поэтому AD = AH + HK + KD = 3HK = 3BC.

Ответ: AB = BK; AD = 3BC.