4. На рисунке для пары параллельных прямых AB и CD проведены секущие KL и MN, пересекающие прямую AB в точке O1, а прямую CD в точках O2 и O3 соответственно. Угол MOK равен 23°, угол MO3D равен 118°. Найдите угол альфа. Ответ запишите в градусах.

Решение:

Дано: AB || CD, \( \angle MOK = 23^{\circ} \), \( \angle MO_3D = 118^{\circ} \).

Найдем \( \angle MO_3C \). Так как \( \angle MO_3D \) и \( \angle MO_3C \) — смежные углы, то \( \angle MO_3C = 180^{\circ} - \angle MO_3D = 180^{\circ} - 118^{\circ} = 62^{\circ} \).

Рассмотрим треугольник \( \triangle MO_1K \). Угол \( \angle AO_1K = 180^{\circ} - \angle MOK = 180^{\circ} - 23^{\circ} = 157^{\circ} \) (развернутый угол).

Поскольку AB || CD, то \( \angle KO_1M = \angle KO_3O_2 = 23^{\circ} \) (вертикальные углы).

Рассмотрим \( \triangle MO_1K \). Угол \( \angle MO_1K \) и \( \angle AO_1K \) — смежные. \( \angle AO_1K = 180^{\circ} - 23^{\circ} = 157^{\circ} \). Это неверно. \( \angle MOK = 23^{\circ} \) дан.

Рассмотрим \( \triangle MO_1K \). Угол \( \alpha \) и \( \angle MOK = 23^{\circ} \) — вертикальные углы. Это тоже неверно, \( \alpha \) и \( \angle MOK \) не являются вертикальными. \( \alpha \) - это \( \angle KO_1A \).

Проверим рисунок. \( \alpha \) — это угол \( \angle KO_1A \). \( \angle MOK = 23^{\circ} \) - дан.

\( \angle KO_1A \) и \( \angle MOK \) — смежные углы. \( \alpha = \angle KO_1A = 180^{\circ} - \angle MOK = 180^{\circ} - 23^{\circ} = 157^{\circ} \). Это не соответствует рисунку.

Давайте будем внимательнее к рисунку. \( \alpha \) — это угол \( \angle KO_1A \). \( \angle MOK = 23^{\circ} \). \( \angle MOK \) и \( \angle AO_1L \) — вертикальные углы, значит \( \angle AO_1L = 23^{\circ} \).

\( \alpha \) и \( \angle AO_1L \) — смежные углы. \( \alpha = \angle KO_1A = 180^{\circ} - \angle AO_1L = 180^{\circ} - 23^{\circ} = 157^{\circ} \).

Это тоже не так. \( \alpha \) — угол \( \angle KO_1A \). \( \angle MO_1K = 23^{\circ} \).

Перечитаем условие: \( \angle MOK = 23^{\circ} \). \( \alpha \) — это угол \( \angle KO_1A \). \( \angle MOK \) и \( \angle KO_1A \) — смежные углы.

\( \alpha + \angle MOK = 180^{\circ} \) (это если K, O1, M лежат на одной прямой, что не так).

\( \angle AO_1K \) — это \( \alpha \).

\( \angle MO_1K = 23^{\circ} \). \( \angle AO_1K \) и \( \angle MO_1K \) — смежные углы.

\( \alpha + 23^{\circ} \) — это развернутый угол. Это не так.

Смотрим на рисунок. \( \angle KO_1A = \alpha \). \( \angle MO_1K = 23^{\circ} \). \( \angle MO_1A = \angle MO_1K + \angle KO_1A = 23^{\circ} + \alpha \).

\( \angle MO_3D = 118^{\circ} \). \( AB \parallel CD \).

Рассмотрим секущую \( KL \) и параллельные прямые \( AB \) и \( CD \). \( \angle AKO_1 = \angle KO_3C \) (накрест лежащие углы).

Рассмотрим секущую \( MN \) и параллельные прямые \( AB \) и \( CD \). \( \angle M O_1 A = \angle MO_3 C \) (соответственные углы).

\( \angle MO_3C = 180^{\circ} - \angle MO_3D = 180^{\circ} - 118^{\circ} = 62^{\circ} \).

Значит, \( \angle MO_1A = 62^{\circ} \).

\( \angle MO_1A = \angle MO_1K + \angle KO_1A \).

\( 62^{\circ} = 23^{\circ} + \alpha \).

\( \alpha = 62^{\circ} - 23^{\circ} = 39^{\circ} \).

Ответ: 39