4. На рисунке СК = 3 см, KD = 12 см, АК меньше КВ на 5 см. Найдите длину хорды AB.

Решение:

1. По свойству пересекающихся хорд (в данном случае хорды AB и CD, пересекающиеся в точке K), произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
2. CK * KD = AK * KB.
3. 3 см * 12 см = AK * KB.
4. 36 = AK * KB.
5. По условию, АК меньше КВ на 5 см. Пусть КВ = x см. Тогда АК = x - 5 см.
6. Подставим в уравнение: 36 = (x - 5) * x.
7. 36 = x² - 5x.
8. x² - 5x - 36 = 0.
9. Решим квадратное уравнение. Дискриминант D = (-5)² - 4 * 1 * (-36) = 25 + 144 = 169.
10. √D = 13.
11. x₁ = (5 + 13) / 2 = 18 / 2 = 9.
12. x₂ = (5 - 13) / 2 = -8 / 2 = -4 (этот корень не подходит, так как длина не может быть отрицательной).
13. Значит, КВ = 9 см.
14. АК = КВ - 5 см = 9 см - 5 см = 4 см.
15. Длина хорды АВ = АК + КВ = 4 см + 9 см = 13 см.

Ответ: Длина хорды АВ равна 13 см.