4. На сторонах AB и AC равностороннего треугольника ABC отмечены X и Y такие, что BX = AY. Чему может быть равна сумма углов ABY и ACX?

Пусть сторона равностороннего треугольника равна s, а BX = AY = t, где 0 ≤ t ≤ s. Тогда AX = s − t.

Расположим точки в координатах: A = (0, 0), B = (s, 0), C = (s/2, √3s/2). Тогда X = (s − t, 0), Y = (t/2, √3t/2).

Обозначим α = ∠ABY, β = ∠ACX. По координатам векторов:

tan α = √3t/(2s − t),   tan β = √3(s − t)/(s + t).

По формуле тангенса суммы:

tan(α + β) = (tan α + tan β)/(1 − tan α · tan β) = √3.

Оба угла лежат в пределах от 0° до 60°, поэтому их сумма находится в пределах от 0° до 120°. В этом промежутке тангенс равен √3 при угле 60°.

Ответ: 60°.