6. В пятиугольнике ABCDE выполнены равенства ∠ABC = ∠CDE, AB = DE, BC = CD. Докажите, что равны отрезки AD и BE.

Рассмотрим треугольники ABC и EDC. В них AB = DE, BC = CD и равны углы между этими сторонами: ∠ABC = ∠CDE. Значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Отсюда AC = CE и ∠ACB = ∠DCE.

У вершины C лучи расположены так, как показано на рисунке, поэтому ∠ACD = ∠ACB + ∠BCD, а ∠BCE = ∠BCD + ∠DCE. Из равенства ∠ACB и ∠DCE следует, что ∠ACD = ∠BCE.

Теперь рассмотрим треугольники ACD и ECB: AC = CE, CD = CB, ∠ACD = ∠ECB. Они равны по двум сторонам и углу между ними, следовательно, AD = BE.

Что и требовалось доказать.