4. На стороне AC треугольника ABC выбраны точки D и E так, что отрезки AD и CE равны (см. рисунок). Оказалось, что отрезки BD и BE тоже равны. Докажите, что треугольник ABC — равнобедренный.

1. Точки D и E лежат на AC, причём AD = CE. Значит, середина отрезка DE совпадает с серединой AC: если A, D, E, C расположены в этом порядке, то AD = CE делает отрезки от середины AC до D и E равными.
2. Из BD = BE следует, что точка B равноудалена от D и E. Следовательно, B лежит на серединном перпендикуляре к DE.
3. Серединный перпендикуляр к DE проходит через середину AC и перпендикулярен AC. Поэтому B лежит на перпендикуляре, проведённом к AC через её середину.
4. Любая точка этого перпендикуляра равноудалена от A и C, значит, AB = BC.

Треугольник ABC равнобедренный с основанием AC.