4. На стороне \(CK\) квадрата \(ABCK\) лежит точка \(P\) такая, что \(CP=PK\), \(O\) — точка пересечения диагоналей. Выразить векторы \(\overrightarrow{BO}\), \(\overrightarrow{BP}\), \(\overrightarrow{PA}\) через векторы \(\vec x=\overrightarrow{BA}\) и \(\vec y=\overrightarrow{BC}\).

Пусть B — начало отсчёта. Тогда \(\overrightarrow{BA}=\vec x\), \(\overrightarrow{BC}=\vec y\). В параллелограмме-квадрате вершина K имеет радиус-вектор \(\vec x+\vec y\).

Точка O — середина диагонали AC, поэтому \(\overrightarrow{BO}=\frac{\vec x+\vec y}{2}\).

P — середина стороны CK. Следовательно, \(\overrightarrow{BP}=\frac{\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BK}}{2}=\frac{\vec y+(\vec x+\vec y)}{2}=\frac12\vec x+\vec y\).

Наконец, \(\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BP}=\vec x-(\frac12\vec x+\vec y)=\frac12\vec x-\vec y\).

Ответ: \(\overrightarrow{BO}=\frac12(\vec x+\vec y)\), \(\overrightarrow{BP}=\frac12\vec x+\vec y\), \(\overrightarrow{PA}=\frac12\vec x-\vec y\).