4. Найдите длину окружности, если площадь вписанного в нее правильного шестиугольника равна 72√3 см².

Краткая запись:

• Площадь правильного шестиугольника (S_{шестиугольника}): 72√3 см²
• Найти: Длина окружности (C) — ?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Правильный шестиугольник состоит из 6 равносторонних треугольников. Площадь одного такого треугольника равна \( S_{треугольника} = S_{шестиугольника} / 6 \).
   \( S_{треугольника} = 72\sqrt{3} / 6 = 12\sqrt{3} \) см².
2. Шаг 2: Формула площади равностороннего треугольника: \( S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \), где \( a \) — сторона треугольника. В нашем случае сторона треугольника равна радиусу описанной окружности \( r \).
   \( 12\sqrt{3} = \frac{r^2 \sqrt{3}}{4} \).
3. Шаг 3: Находим радиус \( r \).
   \( 12 = \frac{r^2}{4} \)
   \( r^2 = 12 \cdot 4 = 48 \)
   \( r = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3} \) см.
4. Шаг 4: Находим длину окружности (C) по формуле \( C = 2 \pi r \).
   \( C = 2 \pi \cdot 4\sqrt{3} = 8\pi\sqrt{3} \) см.

Ответ: 8π√3 см