4. Найдите корни уравнений: а) \(\frac1{x-3}+\frac1x=\frac12\); б) \(\frac1{x-2}-\frac1x=\frac1{12}\); в) \(\frac1{x-4}+\frac1x=\frac2{x-2}\).

В каждом пункте учитываем значения, обращающие знаменатели в ноль.

1. а) ОДЗ: \(x\ne0,3\). Умножаем уравнение на \(2x(x-3)\): \(2x+2(x-3)=x(x-3)\). Получаем \(x^2-7x+6=0\), то есть \((x-1)(x-6)=0\). Оба корня допустимы.
2. б) ОДЗ: \(x\ne0,2\). Умножаем на \(12x(x-2)\): \(12x-12(x-2)=x(x-2)\). Тогда \(x^2-2x-24=0\), то есть \((x-6)(x+4)=0\). Оба корня допустимы.
3. в) ОДЗ: \(x\ne0,2,4\). Умножаем на \(x(x-2)(x-4)\): \(x(x-2)+ (x-4)(x-2)=2x(x-4)\). После упрощения: \(x^2-6x+8=0\), то есть \((x-2)(x-4)=0\). Оба найденных значения исключены из ОДЗ.

Ответ: а) \(1,6\); б) \(-4,6\); в) корней нет.