4. Найдите область определения функции \(y=\sqrt[6]{4x^2-3x-7}\).

Для корня чётной степени подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

\(4x^2-3x-7\ge 0\).

Найдём корни квадратного трёхчлена: \(D=(-3)^2-4\cdot4\cdot(-7)=121\), поэтому \(x_1=-1\), \(x_2=\frac74\). Коэффициент при \(x^2\) положителен, значит выражение неотрицательно вне промежутка между корнями.

Ответ: \(D(y)=(-\infty;-1]\cup[\frac74;+\\infty)\).