4. Найдите площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, стороны основания которой равны 6 и высота равна 4.

Задание 4. Четырехугольная пирамида

Дано:

• Основание — квадрат со стороной \( a = 6 \).
• Высота пирамиды: \( H = 4 \).

Найти: площадь поверхности пирамиды \( S_{пов} \).

Решение:

1. Площадь основания пирамиды: \( S_{осн} = a^2 = 6^2 = 36 \).
2. Найдем апофему (высоту боковой грани) \( h_a \). Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды \( H \), половиной стороны основания \( \frac{a}{2} \) и апофемой \( h_a \). \( \frac{a}{2} = \frac{6}{2} = 3 \).
3. По теореме Пифагора: \( h_a = \sqrt{H^2 + (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \).
4. Площадь одной боковой грани (треугольника): \( S_{гран} = \frac{1}{2} a \times h_a = \frac{1}{2} \times 6 \times 5 = 15 \).
5. Площадь боковой поверхности пирамиды: \( S_{бок} = 4 \times S_{гран} = 4 \times 15 = 60 \).
6. Площадь полной поверхности пирамиды: \( S_{пов} = S_{осн} + S_{бок} = 36 + 60 = 96 \).

Ответ: 96