4. Найдите сумму наибольшего и наименьшего значений функции f(x) = x/3 + 3/x на отрезке [-5; -1].

Пошаговое решение:

1. Найдем производную функции \( f(x) = \frac{x}{3} + \frac{3}{x} \): \( f'(x) = \frac{1}{3} - \frac{3}{x^2} \).
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \( \frac{1}{3} - \frac{3}{x^2} = 0 \) \( → \frac{1}{3} = \frac{3}{x^2} \) \( → x^2 = 9 \) \( → x = ± 3 \).
3. Из критических точек \( x = 3 \) и \( x = -3 \) только \( x = -3 \) попадает в заданный отрезок [-5; -1].
4. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке, попавшей в отрезок:
• \( f(-5) = \frac{-5}{3} + \frac{3}{-5} = -\frac{5}{3} - \frac{3}{5} = \frac{-25 - 9}{15} = -\frac{34}{15} ≈ -2.27 \).
• \( f(-3) = \frac{-3}{3} + \frac{3}{-3} = -1 - 1 = -2 \).
• \( f(-1) = \frac{-1}{3} + \frac{3}{-1} = -\frac{1}{3} - 3 = \frac{-1 - 9}{3} = -\frac{10}{3} ≈ -3.33 \).
5. Сравним полученные значения: Наибольшее значение равно -2 (при \( x = -3 \)), наименьшее значение равно \( -\frac{10}{3} \) (при \( x = -1 \)).
6. Найдем сумму наибольшего и наименьшего значений: \( -2 + (-\frac{10}{3}) = -2 - \frac{10}{3} = \frac{-6 - 10}{3} = -\frac{16}{3} \).

Ответ: -16/3