4) Найдите значение sin α, если cos α = -\( \frac{\sqrt{6}}{4} \) и \( \frac{\pi}{2} < α < \pi \)

Решение:

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).

1. Подставим известное значение \( \cos \alpha \): \( \sin^2 \alpha + \left(-\frac{\sqrt{6}}{4}\right)^2 = 1 \)
2. Возведём в квадрат: \( \sin^2 \alpha + \frac{6}{16} = 1 \)
3. Упростим дробь: \( \sin^2 \alpha + \frac{3}{8} = 1 \)
4. Выразим \( \sin^2 \alpha \): \( \sin^2 \alpha = 1 - \frac{3}{8} \)
5. Вычислим: \( \sin^2 \alpha = \frac{8}{8} - \frac{3}{8} = \frac{5}{8} \)
6. Теперь найдём \( \sin \alpha \), извлекая квадратный корень: \( \sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{5}{8}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{8}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}} \)
7. Умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{2} \) для рационализации знаменателя: \( \sin \alpha = \pm \frac{\sqrt{10}}{4} \)
8. Так как по условию \( \frac{\pi}{2} < α < \pi \), угол \( \alpha \) находится во второй четверти, где синус положителен.
9. Следовательно, выбираем положительное значение: \( \sin \alpha = \frac{\sqrt{10}}{4} \)

Ответ: \( \frac{\sqrt{10}}{4} \)