4. Найдите значение выражения: a) \( -5\frac{3}{7} - 3,78 + 27 \frac{3}{11} - 6\frac{7}{11} \); б) \( -0,24 \cdot \frac{16}{39} + 0,54 \cdot ( -\frac{16}{39} ) \)

Пошаговое решение:

а) Вычисление значения выражения \( -5\frac{3}{7} - 3,78 + 27 \frac{3}{11} - 6\frac{7}{11} \):

1. Шаг 1: Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби или десятичные дроби, где это возможно. Удобнее работать с обыкновенными дробями.
   \( -5\frac{3}{7} = -\frac{5 \cdot 7 + 3}{7} = -\frac{38}{7} \)
   \( 27\frac{3}{11} = \frac{27 \cdot 11 + 3}{11} = \frac{297 + 3}{11} = \frac{300}{11} \)
   \( 6\frac{7}{11} = \frac{6 \cdot 11 + 7}{11} = \frac{66 + 7}{11} = \frac{73}{11} \)
   3,78 = \( \frac{378}{100} = \frac{189}{50} \)
2. Шаг 2: Перегруппируем члены выражения для удобства.
   \( -\frac{38}{7} - 3,78 + (\frac{300}{11} - \frac{73}{11}) \)
3. Шаг 3: Вычислим разность дробей с одинаковым знаменателем.
   \( \frac{300}{11} - \frac{73}{11} = \frac{300 - 73}{11} = \frac{227}{11} \)
4. Шаг 4: Теперь выражение выглядит так: \( -\frac{38}{7} - 3,78 + \frac{227}{11} \). Найдем общий знаменатель для 7, 50 (для 3,78) и 11. Общий знаменатель равен \( 7 \cdot 50 \cdot 11 = 350 \cdot 11 = 3850 \).
5. Шаг 5: Приведем все дроби к общему знаменателю.
   \( -\frac{38 \cdot 550}{3850} - \frac{189 \cdot 77}{3850} + \frac{227 \cdot 350}{3850} \)
   \( -\frac{20900}{3850} - \frac{14553}{3850} + \frac{79450}{3850} \)
6. Шаг 6: Выполним сложение и вычитание числителей.
   \( \frac{-20900 - 14553 + 79450}{3850} = \frac{-35453 + 79450}{3850} = \frac{44000 - 3}{3850} \) (ошибка в расчетах, попробуем другим способом)

а) Альтернативный подход (группировка целых и дробных частей):

1. Шаг 1: Группируем целые числа и дробные части.
   \( (-5 - 3,78 + 27 - 6) + ( -\frac{3}{7} + \frac{3}{11} - \frac{7}{11} ) \)
2. Шаг 2: Вычисляем сумму целых частей.
   \( -5 - 3,78 + 27 - 6 = -14,78 + 27 = 12,22 \)
3. Шаг 3: Вычисляем сумму дробных частей.
   \( -\frac{3}{7} + \frac{3}{11} - \frac{7}{11} = -\frac{3}{7} + (\frac{3}{11} - \frac{7}{11}) = -\frac{3}{7} - \frac{4}{11} \)
4. Шаг 4: Приводим дробные части к общему знаменателю \( 7 \cdot 11 = 77 \).
   \( -\frac{3 \cdot 11}{77} - \frac{4 \cdot 7}{77} = -\frac{33}{77} - \frac{28}{77} = -\frac{33+28}{77} = -\frac{61}{77} \)
5. Шаг 5: Объединяем целую и дробную части.
   \( 12,22 - \frac{61}{77} \). Переведем 12,22 в дробь: \( 12,22 = \frac{1222}{100} = \frac{611}{50} \).
   \( \frac{611}{50} - \frac{61}{77} \). Общий знаменатель \( 50 \cdot 77 = 3850 \).
   \( \frac{611 \cdot 77}{3850} - \frac{61 \cdot 50}{3850} = \frac{47047 - 3050}{3850} = \frac{43997}{3850} \)
6. Шаг 6: Можно оставить в виде неправильной дроби или выделить целую часть.
   \( 43997 : 3850 \approx 11.427 \)

б) Вычисление значения выражения \( -0,24 \cdot \frac{16}{39} + 0,54 \cdot ( -\frac{16}{39} ) \):

1. Шаг 1: Заметим, что \( -\frac{16}{39} \) является общим множителем. Вынесем его за скобки.
   \( ( -0,24 + 0,54 ) \cdot ( -\frac{16}{39} ) \)
2. Шаг 2: Выполним сложение в скобках.
   \( -0,24 + 0,54 = 0,30 \)
3. Шаг 3: Теперь выражение имеет вид:
   \( 0,30 \cdot ( -\frac{16}{39} ) \)
4. Шаг 4: Преобразуем десятичную дробь 0,30 в обыкновенную: \( 0,30 = \frac{30}{100} = \frac{3}{10} \).
5. Шаг 5: Выполним умножение.
   \( \frac{3}{10} \cdot ( -\frac{16}{39} ) = -\frac{3 \cdot 16}{10 \cdot 39} \)
6. Шаг 6: Сократим дробь. Число 3 в числителе и 39 в знаменателе делятся на 3. Число 16 в числителе и 10 в знаменателе делятся на 2.
   \( -\frac{1 \cdot 8}{5 \cdot 13} = -\frac{8}{65} \)

Ответ: а) \( \frac{43997}{3850} \) (или 11 целых \( \frac{1497}{3850} \)); б) \( -\frac{8}{65} \)