4. Найдите значение выражения loga(a^5b^10), если logb a = 10/19.

Решение:

Используем свойства логарифмов:

\[ \log_a(a^5b^{10}) = \log_a(a^5) + \log_a(b^{10}) \]

Вынесем степени за знак логарифма:

\[ = 5\log_a(a) + 10\log_a(b) \]

Так как \( \log_a(a) = 1 \), получим:

\[ = 5 \cdot 1 + 10\log_a(b) \]

= 5 + 10\(\log\)_a(b)

Нам дано, что \( \log_b a = \frac{10}{19} \). Воспользуемся свойством перехода к новому основанию:

\[ \log_a b = \frac{1}{\log_b a} \]

Подставим данное значение:

\[ \log_a b = \frac{1}{\frac{10}{19}} = \frac{19}{10} \]

Теперь подставим это значение в наше выражение:

\[ = 5 + 10 \cdot \frac{19}{10} \]

= 5 + 19

= 24

Ответ: 24.